二重积分的几何意义是什么（定义设二元函数z=f(x,y)定义）

定义

设二元函数z=f（x，y）将区域D定义为n个子域 ，并以 表示第 个子域面积 上任取一点 作和 。若每个子域直径中的最大值 趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数 在区域 二重积分，记为 ，即 。

这时，称 在 上可积，其中 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为面积元素， 称为积分区， 称为二重积分号。

同时，二重积分应用广泛，可用于计算曲面面积、平面薄片重心、平面薄片旋转惯性、平面薄片对质点的重力等。此外，二重积分也广泛应用于现实生活中，如无线电。

积分的线性性质

性质1(积分可加性)函数和(差)二重积分等于各函数二重积分的和(差)

性质2(积分满足数乘)被积分函数的常系数因子可以提到积分号外比较:

性质3 假如有区域Df（x，y）≦g（x，y）估值:性质4设M和m分别是函数f（x，y）有界闭区D上的最大值和最小值，σ区域D的面积性质5如果在有界闭区D上f（x，y）=k（k为常数），σ是D的面积，是的Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重积分中值定理设置函数f（x，y）在有界闭区D上连续，σ对于区域面积，D上至少（ξ，η）。

求解方法

像固定积分一样，二重积分不是函数，而是值。因此，如果是连续函数f（x，y）它含有二重积分，可以解决二重积分的具体值。

其积分区D是由周围区域组成的。

二重积分是一个常数，不妨作为常数A。对等式两端对D的积分区域进行二重定分。

因此，函数的具体表达式为：f（x，y）=xy 1/8，等式的右侧是二重积分值A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

设Ω空间有界闭区，f（x，y，z）在Ω上连续。

（1）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数

（2）如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应坐标面的一侧，f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数

（3）如果Ω与Ω’关于平面y=x对称

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